Question

【題目】如圖，直線與軸，軸分別相交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）連結AC.請問在軸上是否存在點Q，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）存在，(0，0)，（，0）

【解析】

（1）先由直線解析式求出B，C兩點坐標，再根據對稱軸為直線可求出點A的坐標，A，B，C三點坐標代入，可得拋物線的函數式；（2）設拋物線的對稱軸交x軸于點M，由可知，由可知，由相似三角形對應邊的比相等可求出點Q。

解：（1）∵直線y=-x+3與x軸相交于點B，∴當y=0時，x=3.

∴點B的坐標為.

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，

根據拋物線的對稱性，∴點A的坐標為(1，0).

∵y=-x+3過點C，易知，∴c=3.

又∵拋物線過點，，

∴ 解得 ∴

（2）設在x軸上存在點Q.連結PB，由，得.

設拋物線的對稱軸交x軸于點M.

在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴△PBM為等腰直角三角形.∴.

由點，，可得OB=OC=3，∴△OBC為等腰直角三角形.∴.

由勾股定理，得.

假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似.

①當，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC.

即，∴BQ＝3.∴Q1的坐標是(0，0).

②當，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC，

即，∴QB＝.∴Q2的坐標是（，0）.

由題意知點Q不可能在B點右側的x軸上.綜上所述，在x軸上存在兩點Q1(0，0)，Q2（，0）