Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，平面ABCD⊥平面ABEF

（1）求證：BE⊥DF；

（2）求三棱錐C﹣AEF的體積V．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）取的中點，連結，則，利用勾股定理可得，由面面垂直的性質可得 平面，可得，由此可得 平面，則 平面，從而可得結果；（2）平面，可得，由（1）得， 平面，由棱錐的體積公式可得結果.

（1）取EF的中點G，連結AG，

∵EF=2AB，∴AB=EG，

又AB∥EG，∴四邊形ABEG為平行四邊形，

∴AG∥BE，且AG=BE=AF=2，

在△AGF中，GF=，AG=AF=2，

∴，∴AG⊥AF，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF=AB，

∴AD⊥平面ABEF，又AG平面ABEF，

∴AD⊥AG，

∵ADAF=A，∴AG⊥平面ADF，

∵AG∥BE，∴BE⊥平面ADF，

∵DF平面ADF，∴BE⊥DF；

（2）∵CD∥AB且平面ABEF，BA平面ABEF，

∴CD∥平面ABEF，∴，

由（1）得，DA⊥平面ABEF，

∵，∴．