Question

【題目】在四棱柱中，已知底面為等腰梯形，，，M，N分別是棱，的中點(diǎn)

（1）證明：直線平面；

（2）若平面，且，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，M，N的平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)P，連結(jié)，證得，利用線平行的判定定理，即可證得直線平面；

（2）以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）取的中點(diǎn)P，連結(jié)，，所以，且，

所以，且，所以是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>平面，所以直線平面.

（2）連結(jié)，

由己知可得，，所以為等邊三角形，

所以，，所以，

即，所以，

分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，， 所以，，

可得，，，.

設(shè)平面的法向量為，所以，即，取，解得，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，

取，可得 ，所以，

設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，

所以，則

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.