Question

已知函數的圖象在點處的切線斜率為．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）判斷方程根的個數，證明你的結論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）
（2）方程有且只有一個實根．
（3）存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側．

試題分析：解法一：（Ⅰ）因為，所以，
函數的圖象在點處的切線斜率．
由得：．                    4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．
因為，，所以在至少有一個根．
又因為，所以在上遞增，
所以函數在上有且只有一個零點，即方程有且只有一
個實根．                         7分
（Ⅲ）證明如下：
由，，可求得曲線在點處的切
線方程為，
即．                    8分
記
，
則．               11分
（1）當，即時，對一切成立，
所以在上遞增．
又，所以當時，當時，
即存在點，使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點處切線的兩側．                   12分
（2）當，即時，
時，；時，；
時，．
故在上單調遞減，在上單調遞增．
又，所以當時，；當時，，
即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的
同側．                                   13分
（3）當，即時，
時，；時，；時，．
故在上單調遞增，在上單調遞減．
又，所以當時，；當時，，
即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的同側．
綜上，存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側．                             14分
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）證明如下：
由，，可求得曲線在點處的切
線方程為，
即．                  8分
記
，
則．            11分
若存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左、右兩部分都
位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于t不是極值點，
由二次函數的性質知，當且僅當，即時，
t不是極值點，即．
所以在上遞增．
又，所以當時，；當時，，
即存在唯一點，使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側．                         14分
點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，函數與方程思想、數形結合思想、考查化歸與轉化思想．