Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，函數在區間的最小值為，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）因為，，可得，分別討論，和函數的單調性，即可求得答案；

（2）求得函數在區間的最小值，構造函數（），求其最值，即可求得答案.

，.

①當

當，即，

此時在是單調遞增

當，即，

此時在是單調遞減

②當

ⅰ.當時，即，不符題意；

ⅱ.當時，即，不符題意；

ⅲ. 當時，即，故

由，解得，

則當或，，此時是單調遞增；

當，，此時是單調遞減.

③當

ⅰ.當時，即

則在恒成立，此時是單調遞減

ⅱ.當時，即，

則在恒成立，當且僅當等號成立

此時此時在是單調遞減

ⅲ. 當時，即

故

由，解得，

則當或，，此時是單調遞減；

當，，此時是單調遞增.

（2）當時，

則當或，，此時是單調遞增；

當，，此時是單調遞減.

函數在區間上，

當，單調遞減.

當，單調遞增.

當，取得最小值，

令，（）

即

可得：（）

當，，可得單調遞減；

當，，可得單調遞增；

當時，取的最小值，

故

故