Question

（B題）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長為2

3

，離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點A（-1，1），過原點O的直線交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意，得

2a=2 3 c a = 3 3

，解得

a= 3 c=1

，所以b²=2．
所求的橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當BC垂直于x軸時，因點A（-1，1），|BC|=2

2

，S△ABC=

2

，
當BC不垂直于x軸時，設該直線方程為y=kx，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得x2=

6

2+3k2

，
|BC|=2

1+k2

|x|=2

6

•

1+k2 3k2+2

，又點A到BC的距離d=

|1+k|

1+k2

，
所以S△ABC=

1

2

|BC|•d=

6

•

|k+1|

3k2+2

=

6

•

(k+1)2 3k2+2

=

2

•

1+ 6k+1 3k2+2

，
設6k+1=t，得S△ABC=

2

•

1+ 12t t2-2t+25

=

2

•

1+ 12 t+ 25 t -2

≤

5

，此時k=

2

3

，
綜上知當k=

2

3

，時△ABC面積有最大值為

5

．