Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，離心率為，是橢圓上位于第一象限內的任意一點，為坐標原點，關于的對稱點為，，圓：.

（1）求橢圓和圓的標準方程；

（2）過點作與圓相切于點，使得點，點在的兩側.求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標準方程為，圓的標準方程；（2）

【解析】

（1）設橢圓左焦點為，連接，，易知四邊形為平行四邊形，則，結合離心率為，可求得，即可求得橢圓和圓的標準方程；

（2）設，代入橢圓方程可得到的關系式，然后分別求得的面積的表達式，即可得到四邊形面積的表達式，結合的關系式，求面積的最大值即可.

（1）設橢圓左焦點為，連接，，

因為，，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以，

又離心率為，所以，.

故所求橢圓的標準方程為，圓的標準方程.

（2）設，則，故.

所以，所以，

所以.

又，，所以.

故.

由，得，即，

所以，

當且僅當，即，時等號成立.