Question

如圖，F₁，F₂分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂＝60°

(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF₁B的面積為40，求a，b的值

Answer 1

(1);(2)

解析試題分析：(1)要掌握橢圓的幾何性質以及圖形中對應的線段，上圖中，，， （2）可用代數法，以為參數，寫出直線方程，與橢圓方程聯立求出點坐標，從而求出的面積，再利用面積為，求出，即求出；當然也可幾何方法，由于，在中利用余弦定理，可把用表示出來，再利用面積為，可求出 
試題解析：(1)由題意可知，△AF₁F₂為等邊三角形，a＝2c，所以e＝    3
(2)( 方法一)a²＝4c²，b²＝3c²
直線AB的方程可為y＝－(x－c)
將其代入橢圓方程3x²＋4y²＝12c²，               5
得B                7
所以|AB|＝·＝c         9
由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|sin∠F₁AB         10
＝a·c·＝a²＝40，
解得a＝10，b＝5               12
(方法二)設|AB|＝t
因為|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a
由橢圓定義|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t
再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos60°可得，
t＝a
由＝a·a·＝a²＝40知，a＝10，b＝5 
考點：（1）橢圓的離心率；（2）橢圓的定義和三角形的面積、余弦定理