Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=

3

5

．
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

證明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=

3

5

，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×

3

5

=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．

（2）連接BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點，
連接DM，則DM∥AC₁，
∵DM?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．