Question

（2008•深圳一模）已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據已知可求出橢圓中的a，b的值，再根據橢圓的焦點在x軸上，就可得到橢圓方程．
（Ⅱ）根據直線AB與直線l：y=x+m垂直，可得直線AB的斜率，結合A點坐標就可求出直線AB的方程，代入橢圓方程，化簡，利用韋達定理求出AB的中點坐標，代入直線l的方程，就可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E的長軸長為4，∴a=2，離心率為

3

2

．
∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，∴b=1
∵橢圓E的焦點在x軸上，
∴橢圓E的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由條件可得直線AB的方程為y=-x+1．于是，有

y=-x+1 x2 4 +y2=1

?5x2-8x=0?xB=

8

5

，yB=-xB+1=-

3

5

．
設弦AB的中點為M，則由中點坐標公式得xM=

4

5

，yM=

1

5

，由此及點M在直線l得

1

5

=

4

5

+m?m=-

3

5

．

點評：本題主要考查了橢圓的性質，標準方程，以及直線與橢圓相交問題中韋達定理的應用．