Question

【題目】已知函數f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…為自然對數的底數． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當 時，f（x）≥kx，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f′（x）=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx）， 令 ，
當 單調遞增，
單調遞減
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，
令h（x）=ex（sinx+cosx）h′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，
∵ 在 上單調遞增， ，
當k≤1時，g′（x）≥0，g（x）在 上單調遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當 時，g′（x）≤0g（x）在 上單調遞減，g（x）≤g（0）=0，與題意不合；
當 時，g′（x）為一個單調遞增的函數，而 ，
由零點存在性定理，必存在一個零點x0 ， 使得g′（x0）=0，
當x∈[0，x0）時，g′（x）≤0，從而g（x）在x∈[0，x0）上單調遞減，
從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（﹣∞，1]
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，結合三角函數的性質求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，通過討論k的范圍確定函數的單調性，從而求出k的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．