Question

（2012•焦作模擬）下列函數中，既是奇函數，又是增函數是（　　）

• A．f（x）=x|x|
• B．f（x）=-x³
• C．f（x）=sinx(x∈[0，

  π

  2

  ])
• D．f（x）=

  lnx

  x

Answer 1

分析：四個選項中都給出了具體的函數解析式，其中選項A是分段函數，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函數為奇函數，在分析x＞0時函數的增減性，根據奇函數的對稱性進一步得到函數在整個定義域內的增減性；
選項B舉一反例即可；
C、D中的兩個函數，定義域均不關于原點對稱，都不是奇函數．

解答：解：由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函數f（x）=x|x|為奇函數，又f（x）=x|x|=

x2   (x＞0) -x2  (x＜0)

當x＞0時，f（x）=x²在（0，∞）上為增函數，根據奇函數圖象關于原點中心對稱，
所以當x＜0時，f（x）=-x²在（-∞，0）上也為增函數，所以函數f（x）=x|x|在定義域內既是奇函數，又是增函數，故A正確．
∵2＞1，而-2³＜-1³，所以函數f（x）=x³在定義域內不是增函數，故B不正確．
∵x∈[0，

π

2

]不關于原點對稱，∴f（x）=sinx(x∈[0，

π

2

])在給定的定義域內不是奇函數，故C不正確．
∵f（x）=

lnx

x

的定義域為{x|x＞0}，不關于原點對稱，所以函數f（x）=

lnx

x

在定義域內不是奇函數，故D不正確．
故選A．

點評：怕斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，若對稱，由f（-x）=-f（x）知函數為定義域上的奇函數，由f（-X）=f（x）知函數為定義域上的偶函數；若定義域不關于原點對稱，在定義域內函數是非奇非偶的．有時也可以根據函數圖象的特點分析，函數圖象關于原點中心對稱是函數為奇函數的充要條件，關于y軸軸對稱是函數為偶函數的充要條件．