Question

【題目】兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的 中點時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數；
（2）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧 上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，

其中當 時，y=0.065，

所以k=9

所以y表示成x的函數為

（2）解： ， ，

令y'=0得18x4=8（400﹣x2）2，

所以x2=160，即 ，

當 時，18x4＜8（400﹣x2）2，即y'＜0所以函數為單調減函數，

當 時，18x4＞8（400﹣x2）2，即y'＞0所以函數為單調增函數．

所以當 時，即當C點到城A的距離為 時，函數 有最小值

【解析】（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2 ， 再利用圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，得到y和x之間的函數關系，最后利用垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結果．（2）先求出導函數以及導數為0的根，進而求出其單調區間，找到函數的最小值即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．