Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+1的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2]與[2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[-2，2]．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若f（x）的圖象與直線y=m恰有三個公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由單調(diào)遞區(qū)間的端點(diǎn)可得：-2，2是導(dǎo)數(shù)的兩個零點(diǎn)，從而求出參數(shù)b，c，得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用數(shù)形結(jié)合的方法解，畫出圖象．由圖可知，直線x=m與曲線有三個交點(diǎn)時，m的值在最大值與最小值之間．
由此得不等關(guān)系解決．
解答：解：（I）f'（x）=3x²+2bx+c，依題意有即
解得b=0，c=-12．∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³-12x+1．（6分）
（II）由條件可知，函數(shù)f（x）有極大值f（-2）=17，極小值f（2）=-15．（10分）
因為f（x）的圖象與直線y=m恰有三個公共點(diǎn)，
所以，-15＜m＜17．（12分）
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及圖象法，函數(shù)圖象是表述函數(shù)問題的重要工具，因此，巧妙運(yùn)用函數(shù)圖象，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．