Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知點，直線與曲線相交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程為：，曲線的直角坐標方程為：；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）使用代入法消參，可得直線的普通方程，根據，結合二倍角的余弦公式，可得曲線的直角坐標方程

（Ⅱ）寫出直線參數方程的標準形式，然后聯立曲線的方程，可得關于參數的一元二次方程，根據的幾何意義，可得結果.

（Ⅰ）由（為參數），所以

則直線的普通方程為：

由，所以

又，所以

則曲線的直角坐標方程為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

直線參數方程標準形式為：（為參數）

將該方程代入曲線的直角坐標方程

化簡可得：

設點所對應的參數分別為

所以，則

所以

則