Question

【題目】已知兩個正數a，b滿足a+b=1
（1）求證： ；
（2）若不等式 對任意正數a，b都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

證明：∵兩個正數a，b滿足a+b=1，

∴ ，當且僅當 時取等號，

∴ 成立．

（2）

【解答】解：由題意結合（1）可知，只須 ，

而當 時，解不等式 得 ，

當 時，解不等式 得 ，

當x≥2時，解不等式 得 ，

綜上： 的解集為 ．

【解析】本題主要考查了絕對值不等式的解法，解決問題的關鍵是（1）由條件利用基本不等式將數字1進行轉化即可證得結論；（2）將不等式 對任意正數a，b都成立，轉化為 恒成立，由題意可得 ，分類討論，去掉絕對值，求得它的解集．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．