Question

在中學階段，對許多特定集合（如實數集、復數集以及平面向量集等）的學習常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內容．現設集合A由全體二元有序實數組組成，在A上定義一個運算，記為⊙，對于A中的任意兩個元素α=（a，b），β=（c，d），規定：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）．
（1）計算：（2，3）⊙（-1，4）．
（2）請用數學符號語言表述運算⊙滿足交換律，并給出證明．
（3）若“A中的元素I=（x，y）”是“對?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要條件，試求出元素I．

Answer 1

分析：（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），將：（2，3）⊙（-1，4）中參與運算的兩個元素代入易得答案．
（2）根據已經學過的數、向量等的交換率，類比給出⊙運算的交換率，結合⊙的定義，不難證明．
（3）根據充要條件的定義，結合⊙的定義，不難得到一個關于I=（x，y）的方程組，解方程組，即可得到答案．

解答：解：（1）∵α⊙β=（ad+bc，bd-ac），
∴（2，3）⊙（-1，4）=（2×4-1×3，2×4+1×3）=（5，14）
（2）根據數和向量乘法交換率的形式，
類比利得到⊙運算的交換律為：α⊙β=β⊙α，
證明如下：
設α=（a，b），β=（c，d），
則α⊙β=（ad+bc，bd-ac），
β⊙α=（c，d）⊙（a，b）=（cb+da，db-ca）=（ad+bc，bd-ac）．
∴α⊙β=β⊙α．
（3）設A中的元素I=（x，y），由（2）知：
對?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，
只需I⊙a=a，即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）?（bx+ay，by-ax）=（a，b）
①若a=（0，0），顯然有I⊙α=α成立，
②若a≠（0，0），則

bx+ay=a -ax+by=b

，解得

x=0 y=1

，
∴當對?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立時，得I=（0，0）或I=（0，1），
易驗證當I=（0，0）或I=（0，1）時，有對?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立
∴I=（0，0）或I=（0，1）．

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．