Question

（2011•聊城一模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數列{b_n}是等差數列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式，由數列{b_n}是等差數列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6知{b_n}的通項公式易求，由S_n=2a_n-2（n∈N^*），再構造出S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），作差，尋求數列{a_n}相鄰項間的關系，研究其性質．
（Ⅱ）設cn=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．由數列{c_n}的通項的性質發現，求解此題要用錯位相減法．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），∴S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n，又S₁=2a₁-2，a₁=2，故數列{a_n}是首項為2，公比是2的等比數列，
數列{a_n}的通項公式是a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∵數列{b_n}是等差數列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
∴6d=6，d=1，
∴b_n=n（n∈N^*），
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②得∵

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

點評：本題考查等差等比數列的綜合，考查了等差數列的通項公式以及數列的遞推式推證數數列的通項，本題第二問采用了錯位相減法求和，如果一個數列的項是由一個等差數列的項與一個等比數列的相應項乘積組成，即可用錯位相減法求和．本題易因錯位相減時規則不熟悉出錯，要好好研究．