Question

（1）以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？
（2）黑暗中從3雙尺碼不同的鞋子中任意摸出3只，求摸出3只中有配成一雙（事件A）的概率．
（3）利用二項式定理求143²⁰¹³被12除所得的余數．

Answer 1

分析：（1）正方體一共有6個表面，6個對角面，以這些12個面為底面，以剩下的其他4個頂點中的一個為頂點，即可得到所有的四棱錐．
（2）利用組合的知識容易求出從3雙尺碼不同的鞋子中任意摸出3只的方法，而摸出3只中有配成一雙的事件A可以這樣去取，先從3雙鞋子中任取一雙，然后在從剩下的4只鞋子中任取一只即可；
（3）把143寫成12²-1，再利用二項式定理展開即可得出．

解答：解（1）∵正方體一共有6個表面，6個對角面，以這些面為底面，以剩下的其他4個頂點中的一個為頂點，組成四棱錐，即12×4=48個．
（2）從3雙尺碼不同的鞋子中任意摸出3只共有

C

3 6

種方法，
摸出3只中有配成一雙的事件A可以這樣去取，先從3雙鞋子中任取一雙，然后在從剩下的4只鞋子中任取一只可有

C

1 3

C

1 4

種方法，
因此P(A)=

C 1 3 C 1 4

C 3 6

=

3

5

．
（3）143²⁰¹³=（144-1）²⁰¹³=（12²-1）²⁰¹³
=

C

0 2013

(122)2013+

C

1 2013

(122)2012(-1)1+…+

C

2012 2013

(122)1(-1)2012+

C

2013 2013

(-1)2013=12M+

C

2013 2013

(-1)2013（M是整數）
=12M-1=12（M-1）+11．
所以143²⁰¹³被12除所得的余數為11．

點評：正確分析題意并熟練掌握正方體和四棱錐的組成及性質、組合的計算公式、二項式定理是解題的關鍵．