Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=

2

，AD=

3

，點F是PB的中點，點E是邊BC上的動點．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（I）利用三棱錐的換底性，求三棱錐P-ADE的體積可得答案；
（II）當E為BC的中點時，可得EF∥PC，由線面平行的判定定理可證EF∥平面PAC；
（III）先證AF⊥PB，再證AF⊥BC，由線面垂直的判定定理可證AF⊥平面PBC，因為無論點E在邊BC的何處，PE?平面PBC，故得PE⊥AF．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
∴V_E-OAD=V_P-ADE=

1

3

×

1

2

×

3

×

2

×

2

=

3

3

；
（II）當E為BC的中點時，
∵F為PB的中點，∴EF∥PC，
又EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；
（III）∵PA=AB，F為PB的中點，
∴AF⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，
無論E在邊BC的何處，PE?平面PBC，
∴PE⊥AF．

點評：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質及棱錐的體積計算，考查了學生的推理論證能力，熟練運用線面平行的判定定理與性質定理是解答本題的關鍵．