Question

已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)為橢圓的兩個焦點，M為橢圓上任意一點，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|構成等差數列，點F2(c,0)到直線l：x＝的距離為3.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，求出該圓的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x2＋y2＝

【解析】(1)由題知2|F1F2|＝|MF1|＋|MF2|，

即2×2c＝2a，得a＝2c.

又由－c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝.

∴橢圓E的方程為＝1.

(2)假設以原點為圓心，r為半徑的圓滿足條件．

(ⅰ)若圓的切線的斜率存在，并設其方程為y＝kx＋m，則r＝，r2＝，①

由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，有

又∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，

即4(1＋k2)(m2－3)－8k2m2＋3m2＋4k2m2＝0，化簡得m2＝ (k2＋1)，②

由①②求得r2＝.

所求圓的方程為x2＋y2＝.

(ⅱ)若AB的斜率不存在，設A(x1，y1)，則B(x1，－y1)，∵⊥，∴·＝0，有－＝0，＝，代入＝1，得＝.此時仍有r2＝||＝.

綜上，總存在以原點為圓心的圓x2＋y2＝滿足題設條件