Question

AB為圓O的直徑，點E、F在圓上，AB//EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1。

（I）求證：BF⊥平面DAF；
（II）求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數值；
（III）求多面體ABCDFE的體積。

Answer 1

（I）先證AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
由AB為圓O的直徑，得AF⊥BF，且AF∩AD=A，可得BF⊥平面DAF；

（II） ；

（III）

解析試題分析：（I）證明：因為平面ABCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF；    4分

（II）取AB，CD，EF的中點M，P，N（如圖所示）

易證∠MPN為所求二面角的平面角。
根據題意
故  9分
（III）作為垂足，則

12分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系、角及體積計算。
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。本題中體積計算利用了整體與局部的關系。