Question

已知函數f（x）的定義域為D，若對任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(

1

3

)+f(

1

8

)=（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：在③中，令x=0，則可求出f（1），在②中，令x=1，則可求出f（

1

3

）．在②③中，再分別令x=

1

2

，

1

3

，可求出f(

1

2

)，f(

1

6

)，f(

1

9

)，函數f（x）在[0，1]上為非減函數，可得f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f(

1

6

)，進而求出f(

1

8

)的值．

解答：解：由③，令x=0，則f（1）=2-f（0）．又f（0）=0，∴f（1）=2．
由②令x=1，則f（

1

3

）=

1

2

f(1)，∴f(

1

3

)=1．
在③中，令x=

1

2

，則f（1-

1

2

）=2-f（

1

2

），解得f（

1

2

）=1，
 在②中，令x=

1

3

，則f（

1

9

）=

1

2

f(

1

3

)=

1

2

；再令x=

1

2

，則f（

1

6

）=

1

2

f(

1

2

)=

1

2

．
∵

1

9

＜

1

8

＜

1

6

，且函數f（x）在[0，1]上為非減函數，
∴f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f(

1

6

)，∴f(

1

8

)=

1

2

．
于是f(

1

3

)+f(

1

8

)=1+

1

2

=

3

2

．
故選B．

點評：本題考查了滿足某些條件的非減函數，恰當的取值和利用條件非減函數是解決此題的關鍵．