Question

已知函數．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為，求實數a的值；
（II）若函數y=f（x）在區間[0，2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴f'（x）=x²-2ax+4（2分）
∵（4分）
∴a=2（6分）
（Ⅱ）∵函數y=f（x）在區間[0，2]上單調遞增
∴x²-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立
x=0時成立
當x∈（0，2]時，等價于不等式恒成立
令
當時取到等號，所以g（x）_min=2
∴a≤2（12分）
分析：（I）根據切線的傾斜角為得到切線的斜率，根據導數的幾何意義可知x=1處的導數即為切線的斜率，建立等量關系，求出a即可；
（II）根據函數y=f（x）在區間[0，2]上單調遞增，可轉化成x²-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立，將參數a分離，轉化成當x∈（0，2]時，等價于不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右邊函數的最小值，即可求出a的范圍．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，分類討論思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題．