Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先證，，進而證明⊥平面，從而得證；
（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）證明：因為四邊形是菱形，所以.
又因為平面,所以.
又,所以⊥平面.                     
又平面，所以                                       ……6分
（Ⅱ）依題意,知

平面平面，交線為，
過點作，垂足為，則平面.
在平面內過作，垂足為，連,
則⊥平面，所以為二面角的一個平面角 .       ……9分
∵，,
∴, .                                        ……10分
又，故. 所以.                            ……11分
∴.
即二面角的余弦值為.                                      ……12分
考點：本小題主要考查空間中線線垂直的證明和二面角的求解.
點評：在空間中證明直線、平面間的位置關系時，要緊扣判定定理和性質定理，定理中要求的條件要一一列舉出來，缺一不可.