Question

函數y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)在同一個周期內，當x=

π

4

時y取最大值1，當x=

7π

12

時，y取最小值-1．
（1）求函數的解析式y=f（x）．
（2）函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到y=f（x）的圖象？
（3）若函數f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內的所有實數根之和．

Answer 1

分析：（1）通過同一個周期內，當x=

π

4

時y取最大值1，當x=

7π

12

時，y取最小值-1．求出函數的周期，利用最值求出φ，即可求函數的解析式y=f（x）．
（2）函數y=sinx的圖象經過左右平移，然后是橫坐標變伸縮變換，縱坐標不變，可得到y=f（x）的圖象，確定函數解析式．（3）確定函數在[0，2π]內的周期的個數，利用f（x）=a（0＜a＜1）與函數的對稱軸的關系，求出所有實數根之和．

解答：解：（1）∵

2π

ω

=2×(

7π

12

-

π

4

)，
∴ω=3，
又因sin(

3

4

π+φ)=1，
∴

3π

4

+φ=2kπ+

π

2

，又|φ|＜

π

2

，得φ=-

π

4

∴函數f(x)=sin(3x-

π

4

)；

（2）y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位得y=sin(x-

π

4

)的圖象，
再由y=sin(x-

π

4

)圖象上所有點的橫坐標變為原來的

1

3

．縱坐標不變，得到y=sin(3x-

π

4

)的圖象，
（3）∵f(x)=sin(3x-

π

4

)的周期為

2

3

π，
∴y=sin(3x-

π

4

)在[0，2π]內恰有3個周期，
∴sin(3x-

π

4

)=a(0＜a＜1)在[0，2π]內有6個實根且x1+x2=

π

2

同理，x3+x4=

11

6

π，x5+x6=

19

6

π，
故所有實數之和為

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數的圖象，考查數形結合的思想，考查計算能力，是中檔題．