Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。
試建立適當的直角坐標系，解決下列問題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（2）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）由已知得，又，則根據斜率的關系，且過點（2，0），可求，分別求直線與的交點的坐標，進而可求以為直徑的圓的方程；（2）
設，由直線和的方程，分別求與的交點，得，利用勾股定理求以為直徑的圓截軸的弦長為，長度為定值，故圓過定點.（1、該題還可以根據兩直線的垂直關系設直線方程，斜率分別為和，方法如上；2、對于探索型和開放型題目，大膽的猜想和必要的論證是解決問題非常好的方法）.
試題解析：建立如圖所示的直角坐標系，⊙O的方程為，直線L的方程為.
（1）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，∴，,將x=4代入，得,∴MN的中點坐標為（4，0），MN=,∴以MN為直徑的圓的方程為,同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是；
（2）設點P的坐標為，∴（），∴，∵，將x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中點坐標為，
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。∴⊙必過⊙O內定點.
考點：1、直線和圓的方程；2、直線被圓所截的弦長計算方法；3、直線和圓的位置關系.