Question

坐標系與參數方程，在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為(3，

π

3

)，半徑為3，點Q在圓周上運動，
（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）設直角坐標系的原點與極點O重合，x軸非負半軸與極軸重合，M為OQ中點，求點M的參數方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設圓上任一點坐標為（ρ，θ），由余弦定理得出關于ρ，θ的關系式，即為所求圓的極坐標方程；
（Ⅱ）由（I）根據中點坐標公式得出點M的極坐標方程為ρ=3cos(θ-

π

3

)，再化為直角坐標方程得點M為一個圓心在(

3

4

，

3 3

4

)，半徑為r=

3

2

的圓，最后寫出其參數方程即可．

解答：解：（I）連OC并延長交圓于A，圓過極點O，OA為⊙C直徑
設P（ρ，θ）為⊙C上任一點Rt△OPA中，ρ=6cos(θ-

π

3

)
（II）點M的極坐標方程為ρ=3cos(θ-

π

3

)
化為直角坐標方程得：(x-

3

4

)2+(y-

3 3

4

)2=

9

4

，
點M為一個圓心在(

3

4

，

3 3

4

)，半徑為r=

3

2

的圓，
其參數方程

x= 3 4 + 3 2 cosθ y= 3 3 4 + 3 2 sinθ

（θ為參數）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．屬于基礎題．