Question

（滿分12分）已知橢圓的一個頂點為B，離心率，
直線l交橢圓于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（II）如果ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線的方程．

Answer 1

（1）； （2）．

解析試題分析：（1）由已知，且，即，
∴，解得，∴橢圓的方程標準為；
（2）橢圓右焦點F的坐標為，

設線段MN的中點為Q，
由三角形重心的性質知，又，
∴，故得，
求得Q的坐標為；
設，則，
且，
以上兩式相減得，
，
故直線MN的方程為，即．
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線方程。
點評：中檔題，涉及橢圓的題目，在近些年高考題中是屢見不鮮，往往涉及求橢圓標準方程，研究直線與橢圓的位置關系。求橢圓的標準方程，主要考慮定義、a,b,c,e的關系，涉及直線于橢圓位置關系問題，往往應用韋達定理。本題利用“點差法”較方便的得到了直線的斜率，進一步確定得到直線方程。