Question

（理數）（14分） 已知函數，．
（Ⅰ）設函數F(x)＝18f(x)－ [h(x)]，求F(x)的單調區間與極值；
（Ⅱ）設，解關于x的方程；
（Ⅲ）設，證明：．

Answer 1

（理數） 解：（Ⅰ），
．
令，得（舍去）．
當時．；當時，，
故當時，為增函數；當時，為減函數．
為的極大值點，且．………………………………4分
（Ⅱ）原方程可化為，即
……………6分

①當時，原方程有一解；
②當時，原方程有二解；…………8分
③當時，原方程有一解；
④當或時，原方程無解．……………………10分
（Ⅲ）由已知得，
．
設數列的前n項和為，且（）
從而有，當時，．
又
．
即對任意時，有，又因為，所以………14分．

略