Question

【題目】設正數、滿足會且使得關于的不等式總有實數解.試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求出、應滿足的條件.由原不等式得下列的各個等價形式：，兩邊同時平方并整理得. ①

令，則，代入式①得

，

即. ②

下面分3種情形討論：

當時，式②變為，有解.

當，充分大時，式②有解.

當時，首先要求判別式，有，

即. ③

令.

由于，所以，方程有兩個實根、.因為，所以，必有.又因為拋物線開口向上，所以，不等式在時總是有解.

綜合上述得，、應滿足的充分必要條件是， ④

即. ⑤

注意到式⑤與三角恒等式的“相似性”，

故令，.

則 ，

其中，.

令，則. ⑥

當時，由式⑥得，.

當時，由式⑥解得 .

若，則，

即

它等價于

即矛盾.

故這種情形不可能存在.從而，只有一種可能，

即.

于是，.

這時有兩種可能：

（1）

或（2）

由（1）可解得，由（2）可解得.

綜上可知，的取值范圍是.

又，所以，的取值范圍是，即能取遍中的每一個值（與是相互獨立的）.