Question

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正視圖和側視圖如圖所示．設△ABC，△A′B′C′的中心分別是O、O′，現將此三棱柱繞直線OO′旋轉（包括逆時針方向和順時針方向），射線OA旋轉所成的角為x弧度（x可以取到任意一個實數），對應的俯視圖的面積記為S（x），則函數S（x）的最大值和最小正周期分別是（　　）

• A．4

  3

  ，

  π

  3

• B．4

  3

  ，

  π

  6

• C．8，

  π

  3

• D．8，

  2π

  3

Answer 1

分析：由題意可判斷出俯視圖的圖形的形狀是矩形，推出在旋轉過程中底面正三角形的邊在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最大，即可求解結果．

解答：解：由題意可知，正三棱柱的底面三角形的高為

3

，正三角形的邊長為2，
俯視圖是矩形，當此三棱柱繞直線OO′旋轉，在旋轉過程中對應的俯視圖，底面正三角形的邊在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最大，令俯視圖的面積為S，則S的最大值為：2×4=8．
因為正三角形的內角均為60°，所以函數S（x）的最小正周期為

π

3

故選C

點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，解題的關鍵是判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值時的位置，屬基礎題．