Question

已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+Inx(a∈R)
（1）當a=0時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）的圖象在區間（1，+∞）內恒在直線y=2ax下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，求函數f（x）的定義域，求出函數的導數，利用導數大于0，即可得到單調遞增區間；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，就出a的不等式，構造函數求出導數，得到函數的最小值，即可求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）的圖象在區間（1，+∞）內恒在直線y=2ax下方，構造函數g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，通過導數對a進行討論，當a∈[-

1

2

，

1

2

]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．

解答：解：顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），
（1）當a=0時，f(x)=-

1

2

x2+lnx，f′(x)=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；
由f'（x）＞0，結合定義域解得0＜x＜1，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1）．
（2）將f（x）＜（x+1）lnx化簡得(a-

1

2

)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜

lnx

x

+

1

2

令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，則g/(x)=

1-lnx

x2

，由g′（x）=0解得x=e．
當1≤x＜e時，g′（x）＞0；當e＜x≤3時，g′（x）＜0
故g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

∴?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等價于a＜g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

即a的取值范圍為(-∞，

1

e

+

1

2

)
（3）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，則g（x）的定義域為（0，+∞）．
在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得極值點x₁=1，x2=

1

2a-1

，
當x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1時，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此時g（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當x₂＜x₁=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區間（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；
②若a≤

1

2

，則有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
從而g（x）在區間（1，+∞）上是減函數；
要使g（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足g(1)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

，
由此求得a的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
綜合①②可知，當a∈[-

1

2

，

1

2

]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．

點評：本題考查函數的導數的應用，構造法的應用，考查轉化思想，函數與方程的思想，高考的壓軸題．