Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，
，是線段上的點，是線段上的點，且

（Ⅰ）當時，證明平面；
（Ⅱ）是否存在實數，使異面直線與所成的角為？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）存在實數使異面直線與所成的角為. 

（1）當時，分別是所在邊的中點，在矩形中，利用三角形相似證出，由已知得，根據線面垂直的判定定理可證出結論.（2）異面直線與所成的角為，即，在直角三角形中，.設，再求出，，.由余弦定理求得.代入求出的值.
（Ⅰ）當時，則為的中點.
又 ，
∴在與中，，
，，∴.
又∵平面，平面，
∴.
∴平面          ………………………………………………………… （6分）
（Ⅱ）設, 則.連結，則面.
∴.
∵，∴，.
在中，，
設異面直線與所成的角為，則，
∴, ∴.
∴.
解得.
∴存在實數，使異面直線與所成的角為. ……………………………… （12分）
方法二：（坐標法）
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

（Ⅰ）當時，則為的中點，設, 則，則
，，，,.
,，.
,.
∴平面.     ………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）設, 則，
∴，，,.
∵,
∴, .
,.

依題意，有，
∵，∴ ∴.
∴存在實數使異面直線與所成的角為.   ……………………………… （12分）