Question

【題目】如圖，在四棱椎中， 是棱上一點，且，底面是邊長為2的正方形， 為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點.

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1)在正方形中， ，由面面垂直的性質定理可得，∴平面，又平面，∴，進而證得，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而得到平面的一個法向量，平面的一個法向量.由空間的夾角公式可求兩個向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值.

試題解析：

(1)在正方形中， ，又平面平面，且平面平面，

∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，

又平面， 平面，∴平面.

又四點共面，且平面平面，∴，∴，

又，∴為棱的中點， 是棱中點，

∵是正三角形，∴，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則

， ， ， ， ， ， ， .

設平面的法向量為，則，∴， ， ，解得， ，令，則為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則， ，

∴， ，得， ，令，則為平面的一個法向量.

∴，由圖知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.