Question

已知函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若對于都有成立，試求的取值范圍；
（Ⅲ）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調增區間是,單調減區間是． 
（II）的范圍是
（III）的取值范圍是． 

本題考查導數的幾何意義；切點處的導數為切線斜率；用導數求單調區間：導數大于0對應區間為單調遞增區間；導數小于0對應區間為單調遞減區間；用導數求最值及恒成立問題．
（I） 直線的斜率為1.函數的定義域為，，所以，所以．所以．.由解得；由解得.
所以的單調增區間是,單調減區間是．  ……………………4分
（II），由解得；由解得.
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減所以當時，函數取得最小值，.因為對于都有成立，所以即可.則．由解得． 所以的范圍是.8分
（III）依題得，則.由解得；由解得所以函數在區間為減函數，在區間為增函數．又因為函數在區間上有兩個零點，所以
解得.所以的取值范圍是．