Question

【題目】已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分類討論當a≥0時，容易判斷出不符合題意；當a＜0時，求函數的導數，利用導數和極值之間的關系轉化為求極小值大于0即可．

當a＝0時，f（x）＝﹣3x2+1＝0，解得x＝±，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，舍去；

當a＞0時，令f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，）		(，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）＝1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）＝0，

不符合f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，舍去．

當a＜0時，f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＜0，列表如下：

x	(﹣∞,）		（，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

而f（0）＝1＞0，x→+∞時，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）＝0，

∵f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，∴極小值f（）＝a（）3﹣3（）2+1＞0，

解得a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．

綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．

故選：C．