Question

（本小題滿分12分）
已知函數定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.
（1）求證: 為奇函數;
（2）求證: 在上為單調遞增函數;
（3）設,若<,對所有恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

試題分析：（1）因為有，
令，得，所以，                      ……1分
令可得：
所以，所以為奇函數.                                ……4分
（2）是定義在上的奇函數,由題意
則，

是在上為單調遞增函數;                                     ……8分
（3）因為在上為單調遞增函數，
所以在上的最大值為，                               ……9分
所以要使<,對所有恒成立，
只要>1,即>0，                                   ……10分
令

.                                             ……12分
點評：解決抽象函數問題常用的方法是“賦值法”，而要考查抽象函數的性質，還要借助圖象,數形結合來解決.對于恒成立問題，要轉為為求最值來解決，而（３）中將函數轉化為關于的函數，是這道題解題的亮點所在．