Question

已知函數f（x）=x²+2（a-1）x+2，
（1）若函數f（x）的值域為[1，+∞），求實數a的值；
（2）若函數f（x）的遞增區間為[1，+∞），求實數a的值；
（3）若函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的最值求法列出關于a的方程，即可求出a的值；
（2）利用二次函數的單調性在對稱軸處分開，結合圖形列出等式，即可求出a的值．
（3）由解析式先求出對稱軸，再使對稱軸在區間的右側列出不等式，求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2=（x+a-1）²+2-（a-1）²≥2-（a-1）²，
∵函數f（x）的值域為[1，+∞），
∴2-（a-1）²=1
∴a=0或a=2
（2）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2對稱軸為x=a-1，
∵若函數f（x）的遞增區間為[1，+∞），
∴a-1=1，
∴a=2；
（3）由題意知，f（x）=x²+2（a-1）x+2對稱軸為x=a-1，
∵函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，
∴a-1≤1，解得a≤2．

點評：本題考查二次函數的單調性、二次函數最值的求法．二次函數的單調性，即由圖象的開口方向和對稱軸，判斷函數的單調性．