Question

【題目】如圖，已知AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AC=BC，且PA⊥平面ABC，E是AC的中點，F是PB的中點，PA=，AB=2．求：

（Ⅰ）異面直線EF與BC所成的角；

（Ⅱ）點A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）60°（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）連接OE，OF，說明∠FEO是異面直線EF與BC所成的角，解三角形即可。

（Ⅱ）證明BC⊥平面PAC，即可計算出S△PBC=2，利用等體積法列方程即可得解。

解：（I）連接OE，OF．

∵O是AB的中點，E是AC的中點，

∴OE∥BC，

∴∠FEO是異面直線EF與BC所成的角，

∵O是AB的中點，F是PB的中點，

∴OF∥PA，又PA⊥平面ABC，

∴OF⊥平面ABC，

∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，

∵AC=BC，AB=2，∴BC=，∴OE=BC=，

又OF=PA=，∴tan∠FEO==，

∴異面直線EF與BC所成的角為60°．

（II）∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．

∵PC==2，∴S△PBC==2．

設A到平面PBC的距離為h，則VA-PBC==．

又VA-PBC=VP-ABC===，

∴h=，即A到平面PBC的距離為．