Question

函數 f（x）=cosx，（x∈R）．
（1）若函數g（x）=f²（x）+sinxcosx，求函數g（x）的單調遞減區間；
（2）若h（x）=f（2x）+asinx，在x∈R上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡g（x）的解析式為，由2kπ+，k∈Z，解得x的范圍即為所求．
（2）化簡h（x）的解析式為，分＞1、、＜-1三種情況分別根據其最大值
求出a的值．
解答：解：（1）g（x）=cos²x+sinxcosx=，
由2kπ+，k∈Z，解得 ，
故函數g（x）的單調遞減區間是 ．
（2）h（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asin，
由于sinx∈[-1，1]，h（x）的最大值為1，則
①若＞1，即a＞4時，則sinx=1時有最大值，∴-1+a=1，∴a=2，（舍去）．
②若-1≤=1，∴a=0，合乎題意．
③若＜-1，即a＜-4時，怎sinx=-1有最大值．-1-a=1⇒a=-2，（舍去）．
綜上，a=0．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的單調性及最值的求法，體現了分類討論的數學思想．