Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．

（1）證明PA∥平面BDE；
（2）證明：DE⊥面PBC；
（3）求直線AB與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC，設AC與BD交于O點，連結EO，

由O，E分別為AC，CP中點，

∴OE∥PA

又OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）證明：由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，

∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．

由PD=DC，E為P中點，故DE⊥PC．

∴DE⊥平面PBC

（3）解：將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大小為45°
【解析】（1）連結AC，設AC與BD交于O點，連結EO，易證EO為△PAC的中位線，從而OE∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE；（2）依題意，易證DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC；（3）將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．