Question

已知向量

a

=(1，

3

)，

b

=（-2，0）．
（Ⅰ） 求向量

a

-

b

的坐標以及

a

-

b

與

a

的夾角；
（Ⅱ）當t∈[-1，1]時，求|

a

-t

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出 

a

 -

b

  的坐標，設

a

-

b

 與

a

的夾角為 θ，則由 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

 求出 θ 
的值．
（Ⅱ）當t∈[-1，1]時，

a

-t •

b

=（1+2t，

3

 ），得|

a

-t •

b

|=

(1+2t )2+3

=

4t2+4t+4

 
在[-1，-

1

2

]上單調遞減，在[-

1

2

，1]單調遞增，由二次函數的性質求得|

a

-t •

b

|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 

a

 -

b

=（1，

3

 ）-（-2，0 ）=（ 3，

3

 ），設

a

-

b

 與

a

的夾角為 θ，
則 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

=

3•(-2)+0

9+3 • 1+3

=-

3

2

．
根據題意得 0≤θ≤π，∴θ=

5π

6

．
（Ⅱ）當t∈[-1，1]時，

a

-t •

b

=（1+2t，

3

 ），
∴|

a

-t •

b

|=

(1+2t )2+3

=

4t2+4t+4

 在[-1，-

1

2

]上單調遞減，在[-

1

2

，1]單調遞增，
∴t=-

1

2

 時，|

a

-t •

b

|有最小值

3

，t=1時，|

a

-t •

b

|有最大值 2

3

，
故|

a

-t •

b

|的取值范圍[

3

，2

3

]．

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算，向量的模的定義和求法，
函數的單調性的應用，準確運算是解題的關鍵．