Question

若當x∈（0，

1

2

）時，不等式x²+x＜log_ax恒成立，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

構造函數f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜

1

2

）
易知，在區間（0，

1

2

）上，函數f（x），g（x）均是遞增函數，∴函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（0，

1

2

）上是遞增函數．
由題設可知，函數h（x）在區間（0，

1

2

）上恒有h（x）＜0．∴必有h（

1

2

）≤0．
即有（

1

4

）+（

1

2

）-log_a（

1

2

）≤0．
整理就是（

3

4

）≤

ln 1 2

lna

，∴實數a的取值范圍是 

3 4

4

≤a＜1．