Question

【題目】如圖，四棱錐中， ， 側(cè)面為等邊三角形， ， 。

（1）證明： ；

（2）求二面角的平面角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得， 結(jié)合線面垂直的判斷定理可得；

(2)首先找到二面角的平面角，然后結(jié)合幾何關(guān)系可得二面角的平面角的正弦值為.

試題解析：

（1） 解：取 的中點 ，連結(jié)， ,則四邊形 為矩形。

即： ， ,

因為側(cè)面為等邊三角形， ,所以，且

又因為，所以， ，

所以， ，而， ， ，所以。

（2） （2）過點 作 于，因為 ， ，所以，

又因為，即，

由平面與平面垂直的性質(zhì)，知,

在 中，由 ，

得 ，所以 。

過點 作 于，取中點,連結(jié) ，

則 為二面角的平面角，

因為 ， ，所以 ，所以 ,

在 中，由 ，求得 。

在 中， ， ,

所以 。

由 ，得 ，

即，解得，

所以 ,

故二面角的平面角的正弦值為 。