Question

【題目】已知在幾何體ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四邊形ABCD為正方形，F是線段CD上的中點，G是線段BE的中點，且AB=2．

（1）求證：GF∥平面ADE；

（2）求三棱錐F–BGC的表面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取AB中點H，連結HF，GH，推導出平面HGF∥平面ADE，由此能證明GF∥平面ADE；（2）推導出CF⊥BC，CF⊥CG，CG⊥BG，CF=1，BC=2，BG=1，，三棱錐的表面積：．

（1）取AB中點H，連結HF，GH，

∵F是線段CD上的中點，G是線段BE的中點，

∴HF∥AD，GH∥AE，

∵HF∩HG=H，AD∩AE=A，HF、HG平面HGF，AD、AE平面ADE，

∴平面HGF∥平面ADE，

∵GF平面HGF，

∴GF∥平面ADE．

（2）∵在幾何體ABCDE中，AB⊥平面BCE，

且△BCE是正三角形，四邊形ABCD為正方形，

F是線段CD上的中點，G是線段BE的中點，且AB=2．

∴CF⊥BC，CF⊥CG，CG⊥BG，CF=1，BC=2，BG=1，，

∴三棱錐F–BGC的表面積：

.