Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f'（x）是函數y=f（x）的導數，f''是f'（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，請你根據這一發現，求：
（1）函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

對稱中心為

(

1

2

，1)

；
（2）計算f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=

2010

．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數解析式求拐點的縱坐標．
（2）由（1）知，若（a，b）與（c，d）為f（x）圖象上的點，且關于點（

1

2

，1）對稱，則有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，根據該結論即可求得答案；

解答：解：（1）依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
又 f（

1

2

）=1，
∴函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）與（c，d）為f（x）圖象上的點，且關于點（

1

2

，1）對稱，則有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
設S=f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)，
又S=f（

2010

2011

）+f（

2009

2011

）+f（

2008

2011

）+f（

2007

2011

）+…+f（

1

2011

），
所以2S=[f（

1

2011

）+f（

2010

2011

）]+…+[f（

2010

2011

）+f（

1

2011

）]=2×2010，
所以S=2010，即f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=2010．
故答案為：（1）（

1

2

，1）；（2）2010．

點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件．