Question

設函數f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求實數x的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的代數意義，去掉函數f（x）=|x-1|+|x-2|中的絕對值符號，畫出函數函數f（x）的圖象，根據圖象求解不等式f（x）≤3，
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），從而解得實數x的范圍．

解答：解：（1）f(x)=

2x-3，x≥2 1，1＜x＜2 3-2x，x≤1

，…（3分）   所以解集[0，3]…（2分）
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，…（2分）
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…（1分）
解得x≤

1

2

或x≥

5

2

   …（2分）

點評：考查了絕對值的代數意義，去絕對值體現了分類討論的數學思想；根據函數圖象求函數的最值，體現了數形結合的思想．屬中檔題．