Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，

那么就稱為的“伴隨函數(shù)”.已知函數(shù)

，.若在區(qū)間上，

函數(shù)是的“伴隨函數(shù)”，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，； ----------1分

對(duì)于，有，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，

∴.     -----------------3分

(Ⅱ)在區(qū)間上，函數(shù)是的“伴隨函數(shù)”，則，令對(duì)恒成立， ------4分

且對(duì)恒成立，  ------5分

∵（*）       --------------6分

①若，令，得極值點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，在上有，                                    --------------7分

此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；，也不合題意；                           -----------------8分

②若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；                   

要使在此區(qū)間上恒成立，只需滿足，所以.                                           -----------------9分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052420344085937226/SYS201205242038202031124880_DA.files/image031.png">在上是減函數(shù).

，所以.

綜合可知的取值范圍是.                        -----------------10分

另解：（接在（*）號(hào)后）

先考慮，

，--------------8分

在上遞減，只要，即，解得.-----------7分

而對(duì)，且有. --------8分

只要，即，解得，所以，--------9分

即的取值范圍是.                              -----------------10分

【解析】略