Question

如圖，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個點，點A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐標原點）．
（1）寫出a₁，a₂，a₃；
（2）求出點A_n（a_n，0）（n∈N^*）的橫坐標a_n關于n的表達式；
（3）設bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知直線A₀P₁為y=

3

x，然后與y²=3x聯立可得到P₁的坐標，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐標得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根據題意可得到關系xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，然后根據y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），從而可猜想數列通項公式a_n=n（n+1），再由數學歸納法證明即可．
（3）先根據（2）中a_n的表達式可得到b_n的關系式b_n=

1

(2n+ 1 n )+3

，再由函數的單調性可判斷當n=1是b_n的最大值，故為使得不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立只要t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

即可，即只要t²-2mt＞0對于?m∈[-1，1]恒成立即可，再由二次函數的性質即可得到t的范圍．

解答：解（1）a₁=2，a₂=6，a₃=12；
（2）依題意，得xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，由此及y_n²=3x_n得(

3

•

an-an-1

2

)2=

3

2

(an-1+an)，即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
下面用數學歸納法予以證明：
（1）當n=1時，命題顯然成立；
（2）假定當n=k時命題成立，即有a_n=k（k+1），則當n=k+1時，由歸納假設及（a_k+1-a_k）²=2（a_k+a_k+1）得[a_k+1-k（k+1）]²=2[k（k+1）+a_k+1]，即（a_k+1）²-2（k²+k+1）a_k+1+[k（k-1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得a_k+1=（k+1）（k+2）（a_k+1=k（k-1）＜a_k不合題意，舍去），
即當n=k+1時，命題成立．
由（1）、（2）知：命題成立．
（3）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

++

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

++

1

2n(2n+1)

=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

．
令f(x)=2x+

1

x

（x≥1），則f′(x)=2-

1

x2

≥2-1＞0，所以f（x）在[1，+∞）上是增函數，
故當x=1時，f（x）取得最小值3，即當n=1時，(bn)max=

1

6

．t2-2mt+

1

6

＞bn（（?n∈N，?m∈[-1，1]）?t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，即t²-2mt＞0（?m∈[-1，1]）?

t2-2t＞0  t2+2t＞0 •

解之得，實數t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查求數列通項公式、數列的單調性問題以及二次函數的恒成立問題，考查綜合運用能力．